نظریه های بس ذره ای/معادله بت-سلپیتر Bethe-Salpeter equation
با نظریه اختلال بس ذره‌ای، با دقت خوبی می‌توان انرژی‌های برانگیختگی را با استفاده از محاسبه‌ی
خود انرژی در تقریب GW بدست آورد. اما در حقیقت یک جذب نوری، یک جفت الکترون-حفره مقید و یا همان اکسیتون را خواهد ساخت، برای محاسبه‌ی انرژی‌های برانگیختگی، یک موافقت خوب بین آزمایش و تئوری، زمانی که
برهم‌کنشِ بین الکترون و حفره نیز در نظر گرفته شود، بدست خواهد آمد.
معادله بت-سلپیتر (Bethe Salpeter Equation) می‌تواند جفت شدگی بین الکترون و حفره را در نظر بگیرد
و طیف جذبی که با حل این معادله بدست خواهد آمد با نتایج تجربی همخوانی بیشتری دارد.
معادله بت-سلپیتر اولین بار توسط هانس-بت و ادوین ارنست-سلپیتر در سال $ 1951 $
ارائه شد. اولین کاربرد این معادله برای بدست آوردن طیف جذب سیلیکون توسط هنک و شمHanke and Sham
در سال $ 1980 $ صورت گرفت. اولین کاربرد مدرن معادله BS با انجام محاسبات اصول اولیه از دهه‌ی $ 90 $ آغازشد.
معادله‌ی BS برای یک سیستم دو ذره‌ای و مقید نوشته می‌شود و صورت این معادله برای اکسیتون به صورت زیر است:
$$({E_{ck}}-{E_{vk}})A_{vck}^S + \sum\limits_{v'c'k'} {\left\langle {vck} \right|} {K^{eh}}\left| {v'c'k'} \right\rangle A_{vck}^S = {\Omega ^S}A_{vck}^S,$$
اگر هر اکسیتون (حالت برانگیخته) را با $ S $ برچسب بزنیم، در این رابطه $ A_{vck}^S $ دامنه اکسیتون
، $ E_{ck} $ و $ E_{vk} $ انرژی‌های شبه ذره‌ای، شامل تصحیحات خود انرژی، $ K^{eh} $
کرنل الکترون-حفره Electron-hole kernel و $ \left| {vck} \right\rangle $ تابع موج دو ذره‌ای در غیاب
برهم‌کنش‌ها‌ی موجود در سیستم می‌باشد.
به عبارتی می‌توان این معادله را همان معادله‌ی شرودینگر برای یک سیستم دو ذره‌ای و مقید
مانند اکسیتون در نظر گرفت:
$$H^{BS}\left| {{\varphi ^s}} \right\rangle = {\Omega ^s}\left| {{\varphi ^s}} \right\rangle$$
$$H^{BS} = {H_0}+K_{eh} + $$
$$\left| {{\varphi ^s}} \right\rangle = \sum\limits_{vck} {A_{vck}^S} \left| {vck} \right\rangle$$
به طوری که با حل آن، انرژی‌های اکسیتونی و یا برانگیختگی $ \Omega ^S $ و توابع موج اکسیتونی
$ \left| {{\varphi ^s}} \right\rangle $ بدست خواهند آمد.
کرنل الکترون-حفره در BSE شامل یک ترم جاذبِ مستقیم Direct و یک ترم دافعه‌ی تبادلیExchange است.
$${K^{eh}} = 2{\delta _s}{K^x}-{K^d},$$
در این رابطه، برای حالت اسپینی تکتایی، $ \delta_s=1 $ و برای حالت اسپینی سهتایی، $ \delta_s=0 $
می‌باشد.
$ K^x $ و $ K^d $ نیز توسط انتگرال‌های زیر بدست می‌آیند:
$${K^d} = \int {dr'dr\psi _{{k'_c}}^*} (r'){\psi _{{k_c}}}(r')w(r',r){\psi _{{k'_v}}}(r)\psi _{{k_v}}^*(r),$$
$${K^x} = \int {dr'dr\psi _{{k'_c}}^*} (r'){\psi _{{k'_v}}}(r')v(r',r){\psi _{{k_c}}}(r)\psi _{{k_v}}^*(r),$$
$ v $پتانسیل کولنی ساده و $ w $ پتانسیل کولنی استتار شده Screened coulomb potential می‌باشد.
امید شریفی
