خواص اپتیکی (نوری) نانولوله کربنی/قسمت پنجم/اکسیتون2

در مطلب قبل اکسیتون ها را معرفی کردیم و به بیان نقش و اهمیت اکسیتون ها در بررسی خواص نوری نانولوله های کربنی پرداختیم. شهودی برای اهمیت اکسیتون‌ها در نانولوله‌‌های‌کربنی هم درکارهای نظری و هم در آزمایش

بدست آورده شده است.

یک کار نظری، محاسبات اصول اولیه‌ی طیف نوری نانولوله‌های‌کربنی،

با استفاده از دیدگاه معادله‌ی بت‎-سلپیتر Bethe-Salpeter است. این محاسبات، انرژی بستگی بزرگ برای اکسیتون در نانولوله‌های نیمه‌رسانا و حتی اثرات برانگیختگی در نانولوله‌های فلزی را نشان می‌دهند . شکل زیر طیف نوری نانولوله کربنی ‎$ (8,0) $‎ با در نظر گرفتن برهم کنش الکترون-حفره (اثرات اکسیتونی) و بدون در نظر گرفتن برهم‌کنش

الکترون-حفره را نشان می‎‌دهد.

 

شکل 1: طیف نوری نانولوله کربنی $(8,0)$ با برهمکنش الکترون-حفره و بدون برهم کنش الکترون-حفره

خواص اپتیکی (نوری) نانولوله کربنی/قسمت چهارم/اکسیتون

در اکثر مواد، خواص نوری به خوبی توسط تصویر تک ذره‌ای و گذارهای نوار-به-نوار توصیف می‌شوند.

برای مواد با ابعاد کاهش یافته مانند زنجیرهای پلیمری، اثرات بس ذره‎‌ای Many-body

‎بر خواص نوری تاثیر خواهند گذاشت و نانولوله‌های‌کربنی از این امر مستثنی نیستند.

مهم‌ترین تاثیر اثرات بس ذره‌ای بر روی خواص نوری، اکسیتون‌ها هستند.

اکسیتون حالت مقیدی از یک الکترون-حفره است، که این الکترون-حفره یکدیگر را با یک برهم‌کنش کولنی جذب می‌کنند.

شکل زیر تصویر ساده‌ای از تولید اکسیتون را نشان می‌دهد. یک الکترون یک فوتون را جذب کرده و به تراز بالاتر برانگیخته می‌شود و یک بار مثبت ‎(حفره)‎ را باقی می‌گذارد.

                                    نمایی از تشکیل اکسیتون

خواص اپتیکی (نوری) نانولوله کربنی/قسمت سوم/قواعد انتخاب

در تصویر تک ذره‌ایSingle-particle ‎ خواص نوری نانولوله‌های‌کربنی می‌تواند توسط یک هامیلتونی در حضور یک

تابش نوری‎Optical radiation ‎ توصیف شود:

$$‎H = \frac{1}{{2m}}{\left( {\vec p‎ +‎\frac{e}{c} \vec A} \right)^2}‎ + ‎U,$$

 ‎$ \vec p $‎ تکانه الکترون و ‎$ m $‎ جرم آن، ‎$ \vec A $‎ پتانسیل برداری مغناطیسی و ‎$ U $‎ شامل تمام

بر‌هم‌کنش‌های موجود در سیستم است. 

خواص اپتیکی (نوری) نانولوله کربنی/قسمت دوم/اثرات برانگیختگی

فرض کنید نوری را به یک ماده تابانده‌ایم و می‌خواهیم پاسخ نوری ماده نسبت به این تابش را بررسی کنیم.

اولین تجزیه و تحلیل داده‌های نوری بر پایه‌ی این فرض بود: قله‌های جذب در طیف نوری ماده می‌توانند بر حسب اختلاف انرژی، بین تکینگی‌های و‎َن-هوف (قله‌‎های موجود در نمودار چگالی حالات، تکینگی‌های وَن-هوف نامیده می‌شود:

 Van Hove Singularities‎) در نوارهای رسانش و ظرفیت رسم شوند.

در مورد نانولوله‌ها تجمع حالت‌ها در VHS‎ باعث می‌شود، طیف نوری، توسط گذار بین این قله‌ها بیان شود. هم‌چنین

قواعد انتخاب مشخص خواهند کرد، قوی‌ترین گذارهای نوری بین زیرنوارها با تکانه‌ی زاویه‌ای یکسان اتفاق می‌افتند، این بیان انرژی‌های برانگیختگی ‎$ {E_{ii}} $‎ را ارائه می‌دهد.

یادآوری می‌کنیم، برای هر ‎$ k $‎ ، دو نوار متقارن که یکی پر و دیگری خالی است، داده می‌شود بنابراین گذار بین این دو زیرنوار مجاز است. گذارهای نوری Optical transitions بین $v_1-c_1$  ، $v_2-c_2$ و ‎$\ldots $‎ رخ خواهند داد.

اغلب برای حالت‌های نانولوله‌های نیمه‌رسانا و یا فلز، گذارها به ترتیب به صورت

‎$ {S_{11}} $‎, ‎$ {S_{22}} $‎, ‎$ {M_{11}} $‎ و ‎$\ldots$‎ بیان می‌شوند. اگر رسانایی لوله مشخص نباشد و یا اهمیتی نداشته باشد به صورت ‎$ {E_{11}} $‎, ‎$ {E_{22}} $‎ و ‎$\ldots$‎ در نظر گرفته می‌شوند.

خواص اپتیکی (نوری) نانولوله کربنی/قسمت اول/مقدمه

خواص نوری Optical properties نانولوله‌های کربنی یک موضوع مهم درکاربرد نانولوله‌ها در

ابزارهای اپتوالکترونیکیOptoelectronic devices ‎ است. این خواص به عنوان یک ابزار قوی در مشاهده و بیان طیف فوتولومینسانسPhotoluminescence (Pl) ‎ نانولوله‌هاست. این خواص هم‌چنین به عنوان مکملی برای روش‌هایی چون طیف سنجی رامان، پراش و مطالعات میکروسکوپ تونل زنی پویشی ‎$(STM )$ Scanning Tunnelling Microscopy‎ مطرح می‌شوند. یک مشخصه‌ی مهم برای مواد اپتوالکترونیک حضور یک گپ نواری مستقیمDirect band gap ‎

است. این ویژگی باعث می‌شود، گذارهای الکتریکی بین نوارهای ظرفیت و رسانش، بدون دخالت فونون‌ها انجام شوند.‎

از این منظر نانولوله‌ها به دلیل داشتن یک ساختار نواری با یک گپ نواری مستقیم موادی منحصر بفرد به شمار می‌روند.

بنابراین یک نانولوله می‌تواند در رویدادهای اپتوالکترونیکی مشارکت کرده و بازه‌ی گسترده‌ای از انرژی‌ها را پوشش دهد. 

در ادامه ی موضوعات مطرح شده در وبلاگ، از میان مباحث مرتبط با خواص نوری نانولوله‌ها،

اثرات اکسیتونی را مطرح خواهم کرد.

خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت پنجم/چگالی حالات و ساختار نواری نانولوله کربنی

 از آنجا که تعداد حالت های الکترونی در یک نوار الکترونی (رسانش یا ظرفیت) بسیار زیاد است، برای بیان تعداد این حالت ها از مفهوم چگالی حالات استفاده می شود. چگالی حالات بیانگر تعداد حالت هایی است که انرژی آن ها بین $E$ و $dE$ است، به عبارتی تعداد حالات در دسترس در واحد انرژی، چگالی حالات نام دارد. به علت وجود تقارن کافی است که چگالی حالت را در منطقه اول بریلوئن بدست آورد.

برای مجموعه‌ای از ویژه مقادیر انرژی ‎$ \varepsilon $‎ ، چگالی حالات (Density Of States (DOS با رابطه‌ی زیر بیان می‌شود:

$$‎\rho (E) = \frac{1}{l}{\sum\limits_{bands} {\sum\limits_i {\int {dk\delta (k-{k_i})\left| {\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial k}}} \right|} } } ^{-1}},‎$$

خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت چهارم/کوانتش اطراف استوانه گرافین

در مباحث قبل شرط فلزی بودن و نیمه رسانایی نانولوله ها را مطرح کردیم،

در این تاپیک این شرط را بررسی و اثبات خواهیم کرد.

چون قطر نانولوله‌ها کوچک است ‎$(\sim1nm)$‎ یک فضای مهم میان مقادیر کوانتیده ‎$ {k_ \bot } $‎

وجود دارد. در جهت موازی با محور نانولوله، الکترون‌ها بر روی فاصله‌ی بیشتری آزادانه حرکت می‌کنند و عدد موج الکترون در جهت موازی یعنی ‎${k_\parallel } $‎ ‎ به طور موثر پیوسته است. پیوستگی حالت‌های ‎$ {k_\parallel} $‎ در هر مد، یک زیر نوار تک بعدی نامیده می‌شود.

‎$ {k_\bot} $‎ همانطور ک قبلا مطرح کردیم،  بوسیله‌ی شرط مرزی ‎$k_ {\bot } = 2\pi J‎ / ‎\left| {{{\vec C}_h}} \right| $‎ تعیین می‌‌شد و مقادیری کوانتیده بخود می گرفت.‎$ J $‎ یک عدد صحیح و ‎$ {d_t} $‎ قطر نانولوله می‌باشد. در شکل زیر خطوط موازی ‎ حالت‌های مجاز ‎$ k $‎ در نانولوله را نشان می‌دهد.

جهت‌گیری دقیق میان مقادیر ‎$ \vec k $‎ و نقاط ‎$ \vec K$‎ گرافین نقش مهمی در تعیین خواص الکتریکی نانولوله ایفا می‌کند. 

خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت سوم/تقریب منطقه تا شده

در این تقریب، در ادامه مباحث قبل، ما ساختار الکتریکی نانولوله‌های‌کربنی را به سادگی از گرافین به دست می‌آوریم. همان طورکه در بخش شبکه وارون دیدیم، با به کار بردن شرایط مرزی تناوبی در جهت پیچش نانولوله بردار موج $k$ مرتبط شده با جهت ‎$ \vec C_h $‎ کوانتیده می‌شد، در حالی که بردار موج مرتبط شده با بردار انتقال ‎$ \vec T $‎

پیوسته باقی می‌ماند. بنابراین هر نوار گرافین به تعدادی از زیرنوارهای تک بعدی که با ‎$ J$‎ برچسب می‌خورند شکافته می‌شود و روابط پاشندگی انرژی گرافین ‎$ E_g(\vec k) $‎ در خطوط موازی با ‎$ ww' $‎ که  در <شکل BZ نانولوله در بخش شبکه وارون> نشان داده شد، تا می‌شوند.

این روابط پاشندگی:

$$‎{E_J}(\vec k) = {E_g}(k\frac{{{{\vec k}_\parallel }}}{{\left| {{{\vec k}_\parallel }} \right|}}‎ + ‎J{\vec k_\bot}) \quad ; \quad J=0,1,\ldots,N_R-1 \quad‎ , ‎\quad \frac{{-\pi }}{t} < k < \frac{\pi }{t}‎$$

مطابق با روابط پاشندگی انرژی یک نانولوله تک دیواره می‌باشد.

خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت دوم/مدل بستگی قوی برای گرافین

برای توصیف حالت‌های الکتریکی یک نانولوله نخست باید ساختار الکتریکی گرافین را فهمید. در این بخش، با به کار بردن

مدل بستگی قوی Tight binding model خواهیم دید، حالت‌های رسانش و ظرفیت در گرافین در نقاط ویژه‌ای در فضای ‎$ k $‎ با یکدیگر در تماسند و پاشندگی اطراف این نقاط ویژه به صورت مخروط خواهد بود. ما حالت‌های الکتریکی یک نانولوله را ، بوسیله‌ی ترکیب این خواص گرافین با شرایط مرزی استوانه‌ای نانولوله توصیف خواهیم کرد.

شکل زیر ‎هندسه‌ی شبکه گرافین در فضای واقعی را نشان می‌دهد. هر سلول واحد گرافین دارای دو اتم کربن است که با ‎$ A $‎ و ‎$ B $‎ برچسب زده شده‌اند و پیوند میان اتم‌های کربن تشکیل یک شبکه شش گوشی می‌دهد.

هر اتم ‎$ A $‎ به سه اتم ‎$ B $‎ مربوط شده است و بالعکس، هم‌چنین پیوندها در امتداد بردارهای ‎${\vec \rho _1} $ ‎ ، $\vec \rho_2$ و ‎${\vec \rho _3} $‎ قرار دارند.

خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت اول/هیبریداسیون

هر اتم کربن ‎6‎ الکترون، با آرایش الکترونی ‎$ 1{s^2}2{s^2}2{p^2}$‎ دارد. دو الکترون اربیتال ‎$ 1s $‎ شدیدا به هسته مقید بوده و در واکنش‌های کربنی نقش چندانی ندارند، در نتیجه تنها ‎4‎ الکترون بیرونی در تعیین پیوندها و تعیین خواص الکتریکی موثرند. 4‎ اربیتال اتم کربن ‎$ (2s,2{p_x},2{p_y},2{p_z}) $‎ چون از نظر سطح انرژی به‌هم نزدیکند در اکثر ترکیبات کربنی، به شکل‌های مختلف با هم در آمیخته و هیبریدهای گوناگون ‎$ s{p^1},s{p^2},s{p^3} $‎ 

را به‌ وجود می‌آورند.