خواص اپتیکی (نوری) نانولوله کربنی/قسمت سوم/قواعد انتخاب

در تصویر تک ذره‌ایSingle-particle ‎ خواص نوری نانولوله‌های‌کربنی می‌تواند توسط یک هامیلتونی در حضور یک

تابش نوری‎Optical radiation ‎ توصیف شود:

$$‎H = \frac{1}{{2m}}{\left( {\vec p‎ +‎\frac{e}{c} \vec A} \right)^2}‎ + ‎U,$$

 ‎$ \vec p $‎ تکانه الکترون و ‎$ m $‎ جرم آن، ‎$ \vec A $‎ پتانسیل برداری مغناطیسی و ‎$ U $‎ شامل تمام

بر‌هم‌کنش‌های موجود در سیستم است. 

این هامیلتونی در تقریب مرتبه اولِ پتانسیل برداری و با استفاده از پیمانه ی کولن

‎$\vec \nabla.\vec A = 0$‎ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$‎H = {H_0}‎ + ‎\frac{e}{mc}\vec p.\vec A,‎$$

‎$ H_0 $‎ هامیلتونی در غیاب نور و ترم دوم به صورت یک اختلال برای برهم‌کنش الکترون و فوتون در نظر گرفته می‌شود:

$$‎H_{el-ph}(t) = \frac{e}{mc}\vec p.\vec A.‎$$

برای اینکه ذره‌ی باردار، یک کوانتوم نور از حالت اولیه‌ای که ‎$ N $‎ فوتون با بسامد زاویه‌ای ‎$ \omega $‎ دارد جذب کند، می‌نویسیم:

$$‎\vec A(\vec r,t) =\hat e {\left( {\frac{{2\pi {c^2}N\hbar }}{{\omega V}}} \right)^{1/2}}{e^{i(\vec k.\vec r‎ - ‎\omega t)}},‎$$

‎$ \hat e $‎ جهت قطبش نور و ‎$V $‎ حجم دستگاه است. ‎$\vec k$‎ بردار موج، در جهت انتشار و به عبارتی

عمود بر میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی است.

با استفاده از قاعده‌ی طلایی فرمی Fermi's golden rule‎ احتمال گذار بین حالات اولیه و نهایی به

صورت زیر داده می‌شود:

$$‎{\Gamma _{i \to j}} = \frac{{2\pi }}{\hbar }\delta ({E_f}-{E_i}-\hbar \omega ){\left| {\left\langle f \right|{H_{el-ph}}\left| i \right\rangle } \right|^2},‎$$

تابع دلتا در این معادله برای گذارهای نوری نوار-به-نوارBand-to-band ‎ قانون بقای انرژی را می‌دهد.

برای محاسبه درایه‌های ماتریسی، ما دو نمونه‌ی خاص را در نظر می‌گیریم:

نور موازی محور نانولوله ‎$(\hat e = \hat z) $‎

نور عمود بر محور نانولوله ‎$(\hat e=\hat \varphi)$‎

درایه‌های ماتریسی، ناشی از برهم‌کنش الکترون-فوتون در نانولوله، می‌تواند به صورت زیر در نظر گرفته شود:

$$‎\left\langle {q,J,c} \right|{H_{el-ph}}\left| {q',J',v} \right\rangle = {\left( {\frac{{2\pi {c^2}N\hbar }}{{\omega V}}} \right)^{1/2}} \times \frac{e}{mc}\left\langle {q,J,c} \right|(\vec p.\hat e){e^{i\vec k.\vec r}}\left| {q',J',v} \right\rangle‎, $$

‎$ \left| {q,J,c} \right\rangle $‎ یک تابع موج برای یک الکترون با بردار موج محوری ‎$ q $‎ در زیرنوار رسانش

‎$ J $‎ و ‎$ \left| {q,J,v} \right\rangle $‎ برای نوار ظرفیت است.

چون شعاع نانولوله خیلی کوچکتر از طول موج نور است فاکتور نمایی در معادله‌ی بالا

را یک فرض می‌کنیم (تقریب دوقطبی الکتریکی). بنابراین داریم:

$$‎\left\langle f \right|{H_{el-ph}}\left| i \right\rangle ={\left( {\frac{{2\pi {c^2}N\hbar }}{{\omega V}}} \right)^{1/2}}‎  ‎\times\left\langle {q,J,c} \right|{p_z}\left| {q',J',v} \right\rangle$$

$$‎\left\langle f \right|{H_{el-ph}}\left| i \right\rangle ={\left( {\frac{{2\pi {c^2}N\hbar }}{{\omega V}}} \right)^{1/2}}‎  ‎\times\left\langle {q,J,c} \right|{p_\varphi}\left| {q',J',v} \right\rangle$$

با یادآوری از فصل یک، توابع موج برای یک نانولوله‌ی کربنی توسط رابطه‌ی زیر داده می‌شود:

$$‎\left| {q,J,h} \right\rangle = \psi _{Jq}^h(\vec r) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}[{\phi _{AJq}}(\vec r)‎ + ‎\lambda _{Jq}^h {\phi _{BJq}}(\vec r)].‎$$

بنابراین درایه‌های ماتریس تکانه برای قطبش موازی به صورت زیر بدست می‌آیند:

$$‎\left\langle {q,J,c} \right|{p_z}\left| {q',J',v} \right\rangle = {\delta _{J,J'}}{\delta _{q,q'}}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\lambda _{Jq}^\upsilon \sum\limits_{i = 1,2,3} {{\alpha _i}{e^{-iq\delta {z_i}}}{e^{-iJ\delta {\varphi _i}}}} } \right),*‎$$

 برای بدست آوردن این عبارت فرض کرده‌ایم که درایه‌های ماتریس تکانه تنها برای اربیتال‌های جایگزیده روی نزدیکترین همسایه‌ها، غیر صفر است. در این رابطه ‎$ \delta z_{i} $‎ و ‎$ \delta \varphi _{i} $‎

اختلاف بین مختصات محوری و سمتی اتم‌‌های نزدیکترین همسایه را نشان می‌دهند.

هم‌چنین ضرایب ‎$ \alpha_{i} $ به صورت زیر داده می‌شوند:

$$‎{\alpha _i} = \int_0^{2\pi } {d\varphi \int_0^\infty {rdr\int_{-\infty }^\infty {dz\chi _{{{\vec r}_A}}^*(\vec r)i\hbar \frac{d}{{dz}}} } } {\chi _{{{\vec r}_A}‎ + ‎{{\vec \rho}_i}}}(\vec r).‎$$

مهم‌ترین نکته در اینجا ظاهر شدن شرایط ‎$ J={J'} $‎ و‎$ q={q'} $‎ در معادله ی * است. 

این شرط نشان می‌دهد گذارهای نوری با قطبش موازی، بین زیرنوارهایی اتفاق می‌افتد که بردارموج متقارن و محوری یکسان دارند.این بیان انرژی های گذار ‎$ E_{11} $‎ و ‎$ E_{22} $‎ را می دهد.

شکل1: انرژی های گذار اول و دوم  برای نور قطبیده شده موازی محور نانولوله کربنی بر حسب شعاع نانولوله

 

نانولوله‌ها در تمام زیرنوارهای خود یک گپ نواری مستقیم دارند، بنابراین بقای انرژی و تکانه در تمام زیرنوارها می‌تواند بدون مداخله‌ی فونون‌ها صورت گیرد.

برای قطبش عمود، محاسبه‌ی درایه‌های ماتریسی تکانه زاویه‌ای ساده‌تر است، زیرا عملگر تکانه تنها عدد کوانتومی ‎$ J $‎ را یک واحد تغییر می‌دهد:

$$‎\left\langle {q,J,c}\right|{p_\varphi}\left|{q',J',v}\right\rangle \varpropto \left\langle {q,J,c}\right|1\left|{q',J'\pm 1,v}\right\rangle = {\delta _{q,q'}}{\delta _{J,J' \pm 1}},‎$$

 علامت ‎$ \pm $‎ به راستگرد و چپگرد بودن قطبش بستگی دارد.

بنابراین گذارهای نوری با قطبش عمود، بین زیرنوارهایی اتفاق می‌افتد که عدد کوانتومی آن‌ها به اندازه‌ی یک واحد اختلاف دارند. این بیان، انرژی‌های گذار ‎$ E_{12} $‎ و ‎$ E_{21} $‎ را ارائه می‌دهد.

شکل2: انرژی های گذار اول و دوم  برای نور قطبیده شده عمود بر محور نانولوله کربنی بر حسب شعاع نانولوله