خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت سوم/تقریب منطقه تا شده

در این تقریب، در ادامه مباحث قبل، ما ساختار الکتریکی نانولوله‌های‌کربنی را به سادگی از گرافین به دست می‌آوریم. همان طورکه در بخش شبکه وارون دیدیم، با به کار بردن شرایط مرزی تناوبی در جهت پیچش نانولوله بردار موج $k$ مرتبط شده با جهت ‎$ \vec C_h $‎ کوانتیده می‌شد، در حالی که بردار موج مرتبط شده با بردار انتقال ‎$ \vec T $‎

پیوسته باقی می‌ماند. بنابراین هر نوار گرافین به تعدادی از زیرنوارهای تک بعدی که با ‎$ J$‎ برچسب می‌خورند شکافته می‌شود و روابط پاشندگی انرژی گرافین ‎$ E_g(\vec k) $‎ در خطوط موازی با ‎$ ww' $‎ که  در <شکل BZ نانولوله در بخش شبکه وارون> نشان داده شد، تا می‌شوند.

این روابط پاشندگی:

$$‎{E_J}(\vec k) = {E_g}(k\frac{{{{\vec k}_\parallel }}}{{\left| {{{\vec k}_\parallel }} \right|}}‎ + ‎J{\vec k_\bot}) \quad ; \quad J=0,1,\ldots,N_R-1 \quad‎ , ‎\quad \frac{{-\pi }}{t} < k < \frac{\pi }{t}‎$$

مطابق با روابط پاشندگی انرژی یک نانولوله تک دیواره می‌باشد.

اگر برای یک نانولوله‌ی ویژه‌ی ‎$ (n,m) $‎ خطوط این معادله از میان نقاط ‎$ K$‎ <نقاط دیراک> عبور کند، نوارهای انرژی تک بعدی دارای گپ انرژی صفر می‌باشند. در نتیجه نانولوله کربنی خاصیت فلزی دارد.

اگر این خطوط، از نقاط ‎$ K$‎ عبور نکند نانولوله‌ها به صورت یک نیمه رسانا عمل می‌کنند و یک گپ انرژی میان نوارهای رسانش و ظرفیت وجود دارد.

به طور کلی در تقریب منطقه تا شده، شرط اینکه نانولوله‌ها فلزی باشند این است که ‎$ n-m $‎

مضرب صحیحی از ‎$ 3 $‎ باشد. با این بیان، تمام نانولوله‌های دسته صندلی همیشه فلزی هستند و نانولوله‌های

زیگزاگ، تنها زمانی که ‎$ n $‎ مضربی از ‎$ 3 $‎ باشد خاصیت فلزی دارند. نانولوله‌هایی که برای آن‌ها ‎$ n-m=3l\pm1 $‎

باشد به صورت نیمه رسانا عمل می‌کنند ($l$ عددی صحیح است).

‎$ 2/3 $‎ نانولوله‌های‌کربنی نیمه رسانا و ‎$ 1/3 $‎ آن‌ها فلزی هستند.

در بخش بعد، این شرط مطرح شده برای نانولوله‌های فلزی و نیمه رسانا را اثبات می‌کنیم.

شکل بالا جهت گیری خطوط انرژی در منطقه بریلوئن را برای  $a$: یک فلز و $b$: یک نیمه رسانا نشان می‌دهد.