خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت سوم/تقریب منطقه تا شده

در این تقریب، در ادامه مباحث قبل، ما ساختار الکتریکی نانولوله‌های‌کربنی را به سادگی از گرافین به دست می‌آوریم. همان طورکه در بخش شبکه وارون دیدیم، با به کار بردن شرایط مرزی تناوبی در جهت پیچش نانولوله بردار موج $k$ مرتبط شده با جهت ‎$ \vec C_h $‎ کوانتیده می‌شد، در حالی که بردار موج مرتبط شده با بردار انتقال ‎$ \vec T $‎

پیوسته باقی می‌ماند. بنابراین هر نوار گرافین به تعدادی از زیرنوارهای تک بعدی که با ‎$ J$‎ برچسب می‌خورند شکافته می‌شود و روابط پاشندگی انرژی گرافین ‎$ E_g(\vec k) $‎ در خطوط موازی با ‎$ ww' $‎ که  در <شکل BZ نانولوله در بخش شبکه وارون> نشان داده شد، تا می‌شوند.

این روابط پاشندگی:

$$‎{E_J}(\vec k) = {E_g}(k\frac{{{{\vec k}_\parallel }}}{{\left| {{{\vec k}_\parallel }} \right|}}‎ + ‎J{\vec k_\bot}) \quad ; \quad J=0,1,\ldots,N_R-1 \quad‎ , ‎\quad \frac{{-\pi }}{t} < k < \frac{\pi }{t}‎$$

مطابق با روابط پاشندگی انرژی یک نانولوله تک دیواره می‌باشد.

خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت دوم/مدل بستگی قوی برای گرافین

برای توصیف حالت‌های الکتریکی یک نانولوله نخست باید ساختار الکتریکی گرافین را فهمید. در این بخش، با به کار بردن

مدل بستگی قوی Tight binding model خواهیم دید، حالت‌های رسانش و ظرفیت در گرافین در نقاط ویژه‌ای در فضای ‎$ k $‎ با یکدیگر در تماسند و پاشندگی اطراف این نقاط ویژه به صورت مخروط خواهد بود. ما حالت‌های الکتریکی یک نانولوله را ، بوسیله‌ی ترکیب این خواص گرافین با شرایط مرزی استوانه‌ای نانولوله توصیف خواهیم کرد.

شکل زیر ‎هندسه‌ی شبکه گرافین در فضای واقعی را نشان می‌دهد. هر سلول واحد گرافین دارای دو اتم کربن است که با ‎$ A $‎ و ‎$ B $‎ برچسب زده شده‌اند و پیوند میان اتم‌های کربن تشکیل یک شبکه شش گوشی می‌دهد.

هر اتم ‎$ A $‎ به سه اتم ‎$ B $‎ مربوط شده است و بالعکس، هم‌چنین پیوندها در امتداد بردارهای ‎${\vec \rho _1} $ ‎ ، $\vec \rho_2$ و ‎${\vec \rho _3} $‎ قرار دارند.

خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت اول/هیبریداسیون

هر اتم کربن ‎6‎ الکترون، با آرایش الکترونی ‎$ 1{s^2}2{s^2}2{p^2}$‎ دارد. دو الکترون اربیتال ‎$ 1s $‎ شدیدا به هسته مقید بوده و در واکنش‌های کربنی نقش چندانی ندارند، در نتیجه تنها ‎4‎ الکترون بیرونی در تعیین پیوندها و تعیین خواص الکتریکی موثرند. 4‎ اربیتال اتم کربن ‎$ (2s,2{p_x},2{p_y},2{p_z}) $‎ چون از نظر سطح انرژی به‌هم نزدیکند در اکثر ترکیبات کربنی، به شکل‌های مختلف با هم در آمیخته و هیبریدهای گوناگون ‎$ s{p^1},s{p^2},s{p^3} $‎ 

را به‌ وجود می‌آورند.

 

ساختار نانولوله کربنی/قسمت پنجم/شبکه وارون

در حالی که بردارهای شبکه‌ی ‎$ \vec T $‎ و ‎$ \vec C_{h} $‎ سلول واحد نانولوله‌ی کربنی، در فضای حقیقی را مشخص می‌کنند، بردارهای شبکه معکوس، ‎$ \vec k_\bot $‎ در جهت محیطی و ‎$ \vec k_\parallel $‎ در راستای محور نانولوله هستند.

ساختار نانولوله کربنی/قسمت چهارم/سلول واحد

هندسه‌ی شبکه‌ی گرافین و بردار کایرال نه تنها قطر یک لوله، بلکه سلول واحد و تعداد اتم‌های کربن را نیز مشخص می‌کنند. بردار شبکه نانولوله، بردار T عمود بر بردار کایرال و با دوره تناوب انتقالی ‎t در جهت محور نانولوله است.

برای یک نانولوله با کایرالیته (n,m) بردار T برحسب بردارهای پایه‌ به صورت زیر مشخص می‌گردد:

$$T =t_1 \vec a_1+t_2 \vec a_2$$

ساختار نانولوله کربنی/قسمت سوم/زاویه کایرال

یکی از پارامترهای دیگری که برای توصیف ساختار یک نانولوله تعریف می‌شود زاویه کایرال Chiral angle

 است. زاویه‌ی بین بردار کایرال $\vec C_h$ و بردار پایه‌ی $\vec a_1$ زاویه کایرال نام دارد که می‌توان از تعریف ضرب داخلی رابطه‌ای برای این زاویه به صورت زیر بدست آورد:

$$cos \theta=\vec C_h.\vec a_1/|\vec a_1||\vec C_h|=2n+m/ 2\sqrt(n^2+nm+m^2)$$

ساختار نانولوله کربنی/قسمت دوم/بردار کایرال

به دلیل نزدیکی ساختار نانولوله‌ی تک دیواره به گرافین، لوله‌ها را معمولا برحسب بردارهای شبکه‌ی گرافین نمایش می‌دهند. همان طورکه در شکل نشان داده شده است یک نانولوله را می‌توان با لوله کردن یک ورقه‌ی گرافین 

بدست آورد و ساختار آن را می‌توان توسط بردار کایرال Chiral vector توصیف کرد:

$$ \vec C_h=n\vec a_1+m \vec a_2$$

ساختار نانولوله کربنی/قسمت اول/گرافین

گرافین (به انگلیسی: Graphene) نامِ یکی از آلوتروپ‌هایِ کربن است.

در گرافیت (یکی دیگر از آلوتروپ‌هایِ کربن)، هر کدام از اتم‌هایِ چهارظرفیتیِ کربن، با سه پیوندِ کووالانسی به سه اتمِ کربنِ دیگر متصل شده‌اند و یک شبکهٔ گسترده را تشکیل داده‌اند. این لایه خود بر رویِ لایه‌ای کاملاً مشابه قرار گرفته‌است و به این ترتیب، چهارمین الکترونِ ظرفیت نیز یک پیوندِ شیمیایی داده‌است، اما این پیوندِ الکترونِ چهارم، از نوعِ پیوندِ واندروالسی است که پیوندی ضعیف است. به همین دلیل لایه‌هایِ گرافیت به راحتی بر رویِ هم سر می‌خورند و می‌توانند در نوکِ مداد به کار بروند. گرافین ماده‌ای است که در آن تنها یکی از این لایه‌هایِ گرافیت وجود دارد و به عبارتی چهارمین الکترونِ پیوندیِ کربن، به عنوان الکترونِ آزاد باقی مانده‌ است.