خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت دوم/مدل بستگی قوی برای گرافین
برای توصیف حالت‌های الکتریکی یک نانولوله نخست باید ساختار الکتریکی گرافین را فهمید. در این بخش، با به کار بردن
مدل بستگی قوی Tight binding model خواهیم دید، حالت‌های رسانش و ظرفیت در گرافین در نقاط ویژه‌ای در فضای $ k $ با یکدیگر در تماسند و پاشندگی اطراف این نقاط ویژه به صورت مخروط خواهد بود. ما حالت‌های الکتریکی یک نانولوله را ، بوسیله‌ی ترکیب این خواص گرافین با شرایط مرزی استوانه‌ای نانولوله توصیف خواهیم کرد.
شکل زیر هندسه‌ی شبکه گرافین در فضای واقعی را نشان می‌دهد. هر سلول واحد گرافین دارای دو اتم کربن است که با $ A $ و $ B $ برچسب زده شده‌اند و پیوند میان اتم‌های کربن تشکیل یک شبکه شش گوشی می‌دهد.
هر اتم $ A $ به سه اتم $ B $ مربوط شده است و بالعکس، هم‌چنین پیوندها در امتداد بردارهای ${\vec \rho _1} $ ، $\vec \rho_2$ و ${\vec \rho _3} $ قرار دارند.
برای محاسبه‌ی بستگی قوی، یک ترکیب خطی از اربیتال‌های $ {p_z} $ که تقارن شبکه‌ی گرافین را ارضا می‌کند می‌سازیم. تابع موج یک الکترون در یک شبکه‌ی تناوبی باید در شرط بلوخ صدق کند:
$${\psi _k}(r) = \exp (i\vec k.\vec r)u(\vec r)$$
$$u(\vec r + \vec T) = u(\vec r),$$
در مورد گرافین، تابع $ u(\vec r) $ می‌تواند با $ \chi (\vec r) $ یعنی اربیتال اتمی $ {p_z} $
یک اتم کربن جایگزیده تقریب زده شود، در نتیجه تابع موج برای هر اتم به صورت زیر تعریف می‌شود:
$${\phi _{l\vec k}}(\vec r) = \sum\limits_{{{\vec r}_l}} {{e^{i\vec k.{{\vec r}_l}}}} {\chi _{{{\vec r}_l}}}(\vec r),$$
جایی که $ l=A,B $ برچسبی برای هر اتم، در سلول واحد گرافین است. تابع موج نهایی،
یک ترکیب خطی از این دو تابع موج می‌باشد:
$${\psi _{\vec k}}(\vec r) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}[{\phi _{A\vec k}}(\vec r) + {\lambda _{\vec k}}{\phi _{B\vec k}}(\vec r)].$$
هدف ما پیدا کردن ویژه مقادیر انرژی و تابع موج می‌باشد.
برای این کار ابتدا، معادله‌ی شرودینگر $H\psi = E\psi $ را در فرم ماتریسی، به صورت زیر می‌نویسیم:
درایه‌های ماتریس هامیلتونی با رابطه‌ی زیر بدست می‌آیند:
$$\left\langle {{\phi _{l\vec k}}} \right|H\left| {{\phi _{l'\vec k}}} \right\rangle = \int {{d^3}} r\sum\limits_{{{\vec r}_l}} {{e^{ -i\vec k.{{\vec r}_l}}}} \chi _{{{\vec r}_l}}^*(\vec r)H\sum\limits_{{{\vec r}_{l'}}} {{e^{ i\vec k.{{\vec r}_{l'}}}}} \chi _{{{\vec r}_{l'}}}(\vec r),$$
اگر از انتگرال‌های هم پوشانی بین اتم‌های $ A $ صرف نظر کنیم و تنها همسایه‌های اول را در نظر بگیریم (هر اتم $ A $
توسط اتم‌های $B$ احاطه شده است) داریم:
با تعریف:
$$\int {{d^3}} r\chi _{{{\vec r}_l}}^*(\vec r)H{\chi _{{{\vec r}_{l'}}}}(\vec r) = {\gamma _0},$$
که انتگرال هم پوشانی بین نزدیکترین همسایه‌ها را توصیف می‌کند، و قطری کردن ماتریس هامیلتونی، پاشندگی با رابطه‌ی زیر بدست می‌آید:
$$E = \pm \left| {{H_{AB}}} \right| = \pm \gamma_0 \sqrt {1 + 4\cos \left( {\frac{\sqrt 3}{2}{k_x}a} \right)\cos \left( {\frac{{1 }}{2}{k_y}a} \right) + 4{{\cos }^2}\left( {\frac{{1}}{2}{k_y}a} \right)}. $$
$ \pm $ مربوط به مقادیر مختلف $\lambda $ است. از اصول وردشی، $\lambda $ یک عدد مختلط با اندازه واحد می‌باشد.
در معادله‌ی بالا در هر نقطه در فضای $ k $ دو ویژه مقدار برای هر $ k $ ، وابسته به دو مقدار ممکن $\lambda $
وجود دارد. به عنوان مثال در $ {\vec k }=0 $ حالت انرژی بالا دارای $ \lambda=-1 $ است. دو تابع موج $\psi _{k = 0}^{\lambda = 1}$ و $\psi _{k = 0}^{\lambda = -1}$ در شکل زیر نمایش داده شده و فاز تابع موج در هر نقطه‌ی شبکه با علامت‌های $ + $ و $-$ مشخص شده است.
هم‌چنین رابطه‌ی پاشندگی توصیف شده در معادله‌ی بالا در شکل زیر رسم شده است.
این شکل، حالت‌های انرژی بالا $({E_k}>{E_0}) $ و انرژی پایین $({E_k}<{E_0}) $ را نشان می‌دهد. در این شکل می‌بینیم، نوارهای رسانش و ظرفیت در برخی نقاط در فضای $ k $ یکدیگر را قطع می‌کنند، این نقاط را نقاط دیراک نامیده و آن‌ها را با $ K $ و $ K' $ نشان می‌دهند.
حالت‌های الکتریکی نزدیک سطح فرمی گرافین، روی مخروط پراکندگی قرار دارند. بنابراین، شکل و موقعیت این مخروط‌ها برای توصیف خواص الکتریکی گرافین و نانولوله‌ها بسیار مهم است.
سعید قضائی
