نظریه های بس ذره ای/نظریه تابعی چگالی/قسمت دوم/قضایای هوهنبرگ-کوهن

در بخش قبل برای بررسی یک سیستم بس ذره ای نظریه تابعی چگالی را مطرح کردیم.

در ادامه ی مطالب قبل، هوهنبرگ و کوهن Hohenberg and Kohn نشان دادند، چگالی حالت زمینه می‌تواند جایگزین دو کمیت تعداد الکترون‌ها و پتانسیل خارجی ناشی از هسته‌های ساکن شود و به واسطه‌ی آن، همه‌ی خواص حالت پایه‌ی دستگاه می‌توانند از توزیع الکترون‌ها بدست آیند. از جمله مزایای روش‌هایی که در آن‌ها از چگالی الکترونی به جای تابع موج استفاده می‌شود این است که، اولا بر خلاف تابع موج، چگالی بار کمیتی قابل مشاهده است و صحت محاسبات را می‌توان در مقایسه با نتایج پراش ‎$ X $‎ و‎$ \ldots $‎ تایید یا رد کرد. ثانیا چگالی، تابع مکان و شامل ‎$ 3 $‎

مولفه است، در حالی که تابع موج دارای ‎$ 3N $‎ مولفه است، بنابر این محاسبات ساده ترند. 

در این روش‌ها انرژی کل سیستم را به صورت تابعی از چگالی الکترونی نوشته و با وردش‌گیری از آن مقدار کمینه انرژی کل دستگاه و انرژی حالت پایه را بدست می‌آورند.

نظریه های بس ذره ای/نظریه تابعی چگالی/قسمت اول/مقدمه

 مدل بستگی قوی ( که در بخش های قبل توضیح داده شد) یک مدل تک الکترونی است و برای مواردی به کار می رود که پیوند میان اتم‌ها ضعیف باشد و یا اینکه الکترون حول هسته موضعی شده باشد و اندرکنش الکترون-الکترون و پوشش بین توابع موجی دو اتم خیلی ضعیف باشد. ولی همان طورکه می‌دانیم در یک روش دقیق‌تر مجاز نیستیم که الکترونی با تابع موجی معلوم و معین را به دور از تاثیر الکترون‌های دیگر، تنها با یک معادله‌ی شرودینگر

تک ذره‌ای توصیف کنیم.

تمام اطلاعات مربوط به یک دستگاه ‎$ N $‎ ذره‌ای، که بین این ذرات برهم کنش وجود دارد را می‌توان،

در معادله‌ی شرودینگر مستقل از زمان زیر پیدا کرد:

$$‎H \psi = E \psi,‎$$

در این معادله، ‎$ E $‎ نشان دهنده‌ی انرژی کل سیستم و عملگر هامیلتونی ‎$ H $‎ برهم‌کنش‌های عمل کننده

روی تابع موج بس ذره‌ای ‎$ \psi $‎ را نشان می‌دهد.

 هامیلتونی غیر نسبیتی را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$*‎H = {T_n}‎ + ‎{V_{nn}}‎ + ‎T‎ + ‎{V_{ee}}‎ + ‎{V_{ne}},‎$$

خواص اپتیکی (نوری) نانولوله کربنی/قسمت پنجم/اکسیتون2

در مطلب قبل اکسیتون ها را معرفی کردیم و به بیان نقش و اهمیت اکسیتون ها در بررسی خواص نوری نانولوله های کربنی پرداختیم. شهودی برای اهمیت اکسیتون‌ها در نانولوله‌‌های‌کربنی هم درکارهای نظری و هم در آزمایش

بدست آورده شده است.

یک کار نظری، محاسبات اصول اولیه‌ی طیف نوری نانولوله‌های‌کربنی،

با استفاده از دیدگاه معادله‌ی بت‎-سلپیتر Bethe-Salpeter است. این محاسبات، انرژی بستگی بزرگ برای اکسیتون در نانولوله‌های نیمه‌رسانا و حتی اثرات برانگیختگی در نانولوله‌های فلزی را نشان می‌دهند . شکل زیر طیف نوری نانولوله کربنی ‎$ (8,0) $‎ با در نظر گرفتن برهم کنش الکترون-حفره (اثرات اکسیتونی) و بدون در نظر گرفتن برهم‌کنش

الکترون-حفره را نشان می‎‌دهد.

 

شکل 1: طیف نوری نانولوله کربنی $(8,0)$ با برهمکنش الکترون-حفره و بدون برهم کنش الکترون-حفره

خواص اپتیکی (نوری) نانولوله کربنی/قسمت اول/مقدمه

خواص نوری Optical properties نانولوله‌های کربنی یک موضوع مهم درکاربرد نانولوله‌ها در

ابزارهای اپتوالکترونیکیOptoelectronic devices ‎ است. این خواص به عنوان یک ابزار قوی در مشاهده و بیان طیف فوتولومینسانسPhotoluminescence (Pl) ‎ نانولوله‌هاست. این خواص هم‌چنین به عنوان مکملی برای روش‌هایی چون طیف سنجی رامان، پراش و مطالعات میکروسکوپ تونل زنی پویشی ‎$(STM )$ Scanning Tunnelling Microscopy‎ مطرح می‌شوند. یک مشخصه‌ی مهم برای مواد اپتوالکترونیک حضور یک گپ نواری مستقیمDirect band gap ‎

است. این ویژگی باعث می‌شود، گذارهای الکتریکی بین نوارهای ظرفیت و رسانش، بدون دخالت فونون‌ها انجام شوند.‎

از این منظر نانولوله‌ها به دلیل داشتن یک ساختار نواری با یک گپ نواری مستقیم موادی منحصر بفرد به شمار می‌روند.

بنابراین یک نانولوله می‌تواند در رویدادهای اپتوالکترونیکی مشارکت کرده و بازه‌ی گسترده‌ای از انرژی‌ها را پوشش دهد. 

در ادامه ی موضوعات مطرح شده در وبلاگ، از میان مباحث مرتبط با خواص نوری نانولوله‌ها،

اثرات اکسیتونی را مطرح خواهم کرد.

خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت پنجم/چگالی حالات و ساختار نواری نانولوله کربنی

 از آنجا که تعداد حالت های الکترونی در یک نوار الکترونی (رسانش یا ظرفیت) بسیار زیاد است، برای بیان تعداد این حالت ها از مفهوم چگالی حالات استفاده می شود. چگالی حالات بیانگر تعداد حالت هایی است که انرژی آن ها بین $E$ و $dE$ است، به عبارتی تعداد حالات در دسترس در واحد انرژی، چگالی حالات نام دارد. به علت وجود تقارن کافی است که چگالی حالت را در منطقه اول بریلوئن بدست آورد.

برای مجموعه‌ای از ویژه مقادیر انرژی ‎$ \varepsilon $‎ ، چگالی حالات (Density Of States (DOS با رابطه‌ی زیر بیان می‌شود:

$$‎\rho (E) = \frac{1}{l}{\sum\limits_{bands} {\sum\limits_i {\int {dk\delta (k-{k_i})\left| {\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial k}}} \right|} } } ^{-1}},‎$$

خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت سوم/تقریب منطقه تا شده

در این تقریب، در ادامه مباحث قبل، ما ساختار الکتریکی نانولوله‌های‌کربنی را به سادگی از گرافین به دست می‌آوریم. همان طورکه در بخش شبکه وارون دیدیم، با به کار بردن شرایط مرزی تناوبی در جهت پیچش نانولوله بردار موج $k$ مرتبط شده با جهت ‎$ \vec C_h $‎ کوانتیده می‌شد، در حالی که بردار موج مرتبط شده با بردار انتقال ‎$ \vec T $‎

پیوسته باقی می‌ماند. بنابراین هر نوار گرافین به تعدادی از زیرنوارهای تک بعدی که با ‎$ J$‎ برچسب می‌خورند شکافته می‌شود و روابط پاشندگی انرژی گرافین ‎$ E_g(\vec k) $‎ در خطوط موازی با ‎$ ww' $‎ که  در <شکل BZ نانولوله در بخش شبکه وارون> نشان داده شد، تا می‌شوند.

این روابط پاشندگی:

$$‎{E_J}(\vec k) = {E_g}(k\frac{{{{\vec k}_\parallel }}}{{\left| {{{\vec k}_\parallel }} \right|}}‎ + ‎J{\vec k_\bot}) \quad ; \quad J=0,1,\ldots,N_R-1 \quad‎ , ‎\quad \frac{{-\pi }}{t} < k < \frac{\pi }{t}‎$$

مطابق با روابط پاشندگی انرژی یک نانولوله تک دیواره می‌باشد.

خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت اول/هیبریداسیون

هر اتم کربن ‎6‎ الکترون، با آرایش الکترونی ‎$ 1{s^2}2{s^2}2{p^2}$‎ دارد. دو الکترون اربیتال ‎$ 1s $‎ شدیدا به هسته مقید بوده و در واکنش‌های کربنی نقش چندانی ندارند، در نتیجه تنها ‎4‎ الکترون بیرونی در تعیین پیوندها و تعیین خواص الکتریکی موثرند. 4‎ اربیتال اتم کربن ‎$ (2s,2{p_x},2{p_y},2{p_z}) $‎ چون از نظر سطح انرژی به‌هم نزدیکند در اکثر ترکیبات کربنی، به شکل‌های مختلف با هم در آمیخته و هیبریدهای گوناگون ‎$ s{p^1},s{p^2},s{p^3} $‎ 

را به‌ وجود می‌آورند.

 

ساختار نانولوله کربنی/قسمت اول/گرافین

گرافین (به انگلیسی: Graphene) نامِ یکی از آلوتروپ‌هایِ کربن است.

در گرافیت (یکی دیگر از آلوتروپ‌هایِ کربن)، هر کدام از اتم‌هایِ چهارظرفیتیِ کربن، با سه پیوندِ کووالانسی به سه اتمِ کربنِ دیگر متصل شده‌اند و یک شبکهٔ گسترده را تشکیل داده‌اند. این لایه خود بر رویِ لایه‌ای کاملاً مشابه قرار گرفته‌است و به این ترتیب، چهارمین الکترونِ ظرفیت نیز یک پیوندِ شیمیایی داده‌است، اما این پیوندِ الکترونِ چهارم، از نوعِ پیوندِ واندروالسی است که پیوندی ضعیف است. به همین دلیل لایه‌هایِ گرافیت به راحتی بر رویِ هم سر می‌خورند و می‌توانند در نوکِ مداد به کار بروند. گرافین ماده‌ای است که در آن تنها یکی از این لایه‌هایِ گرافیت وجود دارد و به عبارتی چهارمین الکترونِ پیوندیِ کربن، به عنوان الکترونِ آزاد باقی مانده‌ است.

معرفی نانولوله های کربنی

کربن عنصری در جدول تناوبی با عدد اتمی 6 است. کربن عنصری غیر فلزی و فراوان، چهار ظرفیتی و دارای چندین دگرشکل می باشد. در میان عناصر موجود در طبیعت کربن یک استثنا به شمار می آید و ساختارهای کربنی، گستره‌ی وسیعی از تنوع و کاربرد را به خود اختصاص داده اند.