خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت پنجم/چگالی حالات و ساختار نواری نانولوله کربنی

 از آنجا که تعداد حالت های الکترونی در یک نوار الکترونی (رسانش یا ظرفیت) بسیار زیاد است، برای بیان تعداد این حالت ها از مفهوم چگالی حالات استفاده می شود. چگالی حالات بیانگر تعداد حالت هایی است که انرژی آن ها بین $E$ و $dE$ است، به عبارتی تعداد حالات در دسترس در واحد انرژی، چگالی حالات نام دارد. به علت وجود تقارن کافی است که چگالی حالت را در منطقه اول بریلوئن بدست آورد.

برای مجموعه‌ای از ویژه مقادیر انرژی ‎$ \varepsilon $‎ ، چگالی حالات (Density Of States (DOS با رابطه‌ی زیر بیان می‌شود:

$$‎\rho (E) = \frac{1}{l}{\sum\limits_{bands} {\sum\limits_i {\int {dk\delta (k-{k_i})\left| {\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial k}}} \right|} } } ^{-1}},‎$$

در این رابطه،  ‎$ {k_i} $‎ ها ریشه‌های معادله‌ی انرژی ‎$ E-\varepsilon(k)=0 $‎ و ‎$ l $‎ طول کل منطقه اول بریلوئن می‌باشد.

برای تمام نانولوله‌های‌کربنی فلزی، چگالی حالات در امتداد محور نانولوله و در انرژی فرمی به صورت زیر داده می‌شود:

$$‎\rho ({\varepsilon _F}) = 2\sqrt 3 {a_{cc}}/(\pi {\gamma_0}\left| {{C_h}} \right|)\quad;\quad \gamma_0\cong 2.9~eV‎$$

در این رابطه $a_{cc}=0.142nm$ و $|C_h|$ اندازه بردار کایرال نانولوله است.

در شکل زیر، چگالی حالات و ساختار نواری برای سه نوع لوله‌ی زیگزاگ، کایرال و دسته صندلی نشان داده شده است.

نمودارهای سمت راست چگالی حالات DOS و نمودارهای سمت چپ ساختار نواری را نشان می دهند.

شکل های زیر به ترتیب برای نانولوله کایرال (8,2)، زیگزاگ (10,0) و دسته صندلی (5,5) می باشد.

 

چگالی حالات در نزدیکی سطح فرمی ‎$ (E=0) $‎ مورد توجه است. همانطورکه مشاهده می‌شود مقدار چگالی حالات برای نانولوله‌های نیمه رسانا در سطح فرمی صفر است ولی برای لوله‌های فلزی غیر صفر (و کوچک) است.

ساختار نواری:

در یک اتم تنها، الکترون ها در سطوح انرژی مجزا و کوانتیده قرار دارند. این سطوح انرژی یا اربیتال ها از انرژی پایین تر شروع به پر شدن می کنند. وقتی اتم ها در کنار یکدیگر قرار می گیرند، حالت های مجاز انرژی به حالت های نزدیک به هم تقسیم می شوند و شکل اربیتال ها تغییر می کند. اربیتال های یک مولکول با اربیتال های اتم های تشکیل دهنده اش متفاوت می شود. در جامدات این حالت های تقسیم شده به صورت پیوسته در می آیند و نوارهای پهنی از انرژی تشکیل می دهند.

برای نانولوله های کربنی در بخش های قبل با مدل بستگی برای گرافین و تقریب منطقه تا شده رابطه ای برای پاشندگی در نانولوله ها بدست آوردیم، با رسم نوارهای انرژی بر حسب مقادیر مختلف $k$ می توان ساختار نواری برای هر نانولوله با کایرالیته متفاوت را در مدل بستگی قوی رسم کرد. یکی از پارامترهای مهمی که در بررسی خواص الکتریکی و اپتیکی مواد مهم می شود، مقدار گپ نواری است.

برای نانولوله های کربنی، در نزدیکی نقاط دیراک، گپ نواری با رابطه‌ی خطی زیر تقریب زده می‌شود:

$$‎E \approx \frac{{3 {\gamma_0} a_{cc}}}{2}\Delta k‎ ,$$

‎$ \Delta k $‎ اختلاف بین ‎$ k $‎ مجاز و نقاط دیراک را نشان ‌می‌دهد، برای نانولوله‌های نیمه رسانا، همانطور که در بخش قبل بدست آوردیم، مقدار این اختلاف ‎$ \Delta k = \frac{2}{{3{d_t}}}$ است، در نتیجه می‌توان مقدار گپ نواری برای نانولوله‌های نیمه رسانا را با رابطه‌ی زیر تقریب زد:

$$ ‎{E_{gap}} = 2 \times \frac{{3{\gamma _0}{a_{cc}}}}{2}\Delta k=2{\gamma_0}{a_{cc}}/{d_t},‎$$

 این نتیجه نشان می‌دهد گپ نواری نانولوله‌ها وابستگی معکوس به قطرشان ، ‎${d_t} $‎، دارد و از زاویه‌ی کایرال مستقل است. شکل زیر رابطه ی گپ نواری با قطر نانولوله کربنی را نشان می دهد. 

نقاط روی محور افقی، نانولوله های فلزی را نشان می دهد.