خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت چهارم/کوانتش اطراف استوانه گرافین

در مباحث قبل شرط فلزی بودن و نیمه رسانایی نانولوله ها را مطرح کردیم،

در این تاپیک این شرط را بررسی و اثبات خواهیم کرد.

چون قطر نانولوله‌ها کوچک است ‎$(\sim1nm)$‎ یک فضای مهم میان مقادیر کوانتیده ‎$ {k_ \bot } $‎

وجود دارد. در جهت موازی با محور نانولوله، الکترون‌ها بر روی فاصله‌ی بیشتری آزادانه حرکت می‌کنند و عدد موج الکترون در جهت موازی یعنی ‎${k_\parallel } $‎ ‎ به طور موثر پیوسته است. پیوستگی حالت‌های ‎$ {k_\parallel} $‎ در هر مد، یک زیر نوار تک بعدی نامیده می‌شود.

‎$ {k_\bot} $‎ همانطور ک قبلا مطرح کردیم،  بوسیله‌ی شرط مرزی ‎$k_ {\bot } = 2\pi J‎ / ‎\left| {{{\vec C}_h}} \right| $‎ تعیین می‌‌شد و مقادیری کوانتیده بخود می گرفت.‎$ J $‎ یک عدد صحیح و ‎$ {d_t} $‎ قطر نانولوله می‌باشد. در شکل زیر خطوط موازی ‎ حالت‌های مجاز ‎$ k $‎ در نانولوله را نشان می‌دهد.

جهت‌گیری دقیق میان مقادیر ‎$ \vec k $‎ و نقاط ‎$ \vec K$‎ گرافین نقش مهمی در تعیین خواص الکتریکی نانولوله ایفا می‌کند. 

برای روشن تر شدن بحث، ما ابتدا  نانولوله‌ها با کایرالیته‌ی ‎$ (n,0) $‎ را بررسی می‌کنیم. برای این لوله‌ها

‎$ {k_\bot} $‎ های مجاز در رابطه ‎$ {k_\bot}=2\pi J/na $‎ صدق می‌کنند و ‎$ \vec{K_1} $‎ در موقعیت‎$ ({k_\parallel },{k_ \bot }) = (0,\frac{{4\pi }}{3a}) $‎ قرار می‌گیرد ‎$ a $‎ ثابت شبکه‌ی شش‌ گوشی است. هنگامی که ‎$ n $‎ مضربی از ‎3‎ باشد یک ‎$ {k_\bot} $‎ مجاز وجود دارد که بر ‎$ \vec {K_1} $‎ منطبق است.

با قرار دادن ‎$J=2q $‎ داریم:

$$‎{k_ \bot } = \frac{2\pi J}{na} = \frac{4\pi q}{(3q)a} = \frac{4\pi }{3a}.‎$$

منطبق شدن $k_\bot$ بر $K_1$ باعث می شود هیچ گپی در ساختار نواری نانولوله مشاهده نشود.

حال اگر ‎$ n $‎ مضربی از ‎3‎ نباشد دو حالت دیگر وجود دارد. نخست اگر ‎$ n=3q+1 $‎ باشد، ما نزدیک‌ترین ‎$ {k_\bot} $‎ به ‎$ {K_1} $‎

را بوسیله‌ی قرار دادن ‎$ J=2q+1 $‎ بدست می‌آوریم:

$$‎{k_ \bot } = \frac{{2\pi J}}{na} = \frac{{2\pi (2q‎ + ‎1)}}{{(3q‎ + ‎1)a}} = \frac{{4\pi }}{3a}‎ + ‎\frac{2}{3}\frac{\pi }{{(3q‎ + ‎1)a}} = \frac{{4\pi }}{3a}‎ + ‎\frac{2}{{3{d_t}}},‎$$

به طور مشابه اگر ‎$ n=3q-1 $‎ باشد نزدیک‌ترین ‎$ {k_\bot} $‎ مجاز متناظر با ‎$J=2q-1 $‎ است:

$$‎{k_ \bot } = \frac{{2\pi J}}{na} = \frac{{2\pi (2q-1)}}{{(3q-1)a}} = \frac{{4\pi }}{3a}-\frac{2}{3}\frac{\pi }{{(3q-1)a}} = \frac{{4\pi }}{3a}-\frac{2}{{3{d_t}}},‎$$

در این مورد، زیرنوارهای تک بعدی، ‎$ {K_1} $‎ را قطع نمی‌کنند. و یک گپ نواری در ساختار نانولوله مشاهده می شود.

در انتها، می‌توان این تعاریف را برای هر لوله با کایرالیته ‎$ (n,m) $‎ تعمیم داد. بطور کلی اگر اختلاف بین دو عدد صحیح ‎$ n $‎ و ‎$ m $‎ را به صورت مقابل در نظر بگیریم: ‎$ n-m=3q+p $‎ می‌توان گفت  همه‌ی نانولوله‌ها در یکی از سه دسته‌ای که در شکل زیر نشان داده شده است قرار می‌گیرند و رفتار آن‌ها در سه مورد زیر بررسی می شود:

الف):$ ‎p=0 $‎ یک خط از ‎$ k $‎ مجاز ‎$ {K_1} $‎ را قطع می‌کند و نانولوله به صورت فلزی رفتار می‌کند.

ب):$ ‎p=+1 $‎ فاصله‌ی میان ‎$ k $‎ مجاز و  ‎$ {K_1} $   ‎،‎ ‎$ \Delta k = \frac{2}{{3{d_t}}}$‎ می‌باشد.

ج):$ ‎p=-1 $‎ فاصله‌ی میان ‎$ k $‎ مجاز و  ‎$ {K_1} $   ‎،‎ ‎$ \Delta k = -\frac{2}{{3{d_t}}}$‎ می‌باشد.

نانولوله‌های نوع ‎$ p=\pm 1 $‎ دارای گپ‌های نواری بزرگ هستند ‎$({E_{gap}} = 0.7~eV/{d_t}[nm])$‎

که این گپ‌ها، وجه تمایز آن‌ها از نانولوله‌های نوع ‎$ p=0 $‎ است. تفاوت فیزیکی میان ‎$ p=1 $‎

و ‎$ p=-1 $‎ کمتر آشکار است ولی در خواص الکترودینامیکی نانولوله‌ها بیشتر نمایان می‌شود.

پس می توان گفت اگر اختلاف میان $n$ و $m$ مضربی از $3$ باشد نانولوله فلز و در غیر این صورت، نیمه رساناست.

همان طور ک مشاهده می کنید نانولوله‌ی کربنی سیستمی را فراهم می‌کند که خواص الکتریکی آن می‌تواند بوسیله‌ی ساختار آن (قطر، کایرالیته و ‎$ \ldots $‎) کنترل شود.