نظریه های بس ذره ای/نظریه تابعی چگالی/قسمت چهارم/تقریب چگالی موضعی

تقریب چگالی موضعی  (Local Density Approximation (LDA توسط کوهن و شم در سال ‎$ 1965 $‎ گسترش یافت. شکل صریح تابعی تبادلی-همبستگی تا به امروز شناخته شده نیست و باید تقریب زده شود. وجود برهم‌کنش‌های غیر موضعی در انرژی تبادلی-همبستگی، علتِ عدم موفقیت در یافتن شکل دقیق این تابعی به شمار می‌رود. اما اگر همبستگی بین الکترون‌ها کم باشد، می‌توان از تقریب چگالی موضعی استفاده کرد.

در تقریب چگالی موضعی انرژی تبادلی-همبستگی یک سیستم الکترونی با این فرض ساخته می‌شود که انرژی تبادلی-همبستگی به ازای هر الکترون در نقطه‌ی ‎$ r $‎

در گاز الکترونی، برابر است با انرژی تبادلی-همبستگیِ الکترون در گاز الکترونی همگن، که چگالی آن، همان چگالی گاز الکترونی مورد نظر در نقطه‌ی ‎$ r $‎ است. پس:

$$ ‎{E_{xc}}[n(r)] = \int {{\varepsilon _{xc}}(r)n(r){d^3}r}‎,$$

$$ ‎{\varepsilon _{xc}}(r) = \varepsilon _{xc}^{\hom }[n(r)]‎,$$

تنها کافی است چگالی الکترونی یک نقطه داده شود و متناظر با آن مقدار انرژی تبادلی-همبستگی یافت شود.

وابستگی نسبتا دقیقِ مقدار ‎$ \varepsilon _{xc}[n(r)] $‎ به چگالی، برای گاز الکترونی همگن، با استفاده از روش

مونته کارلو کوانتومی ‎Quantum Monte Carlo (QMC)‎ بدست می‌آید.

در نتیجه می‌توان پتانسیل تبادلی-همبستگی را با استفاده از رابطه‌ی زیر بدست آورد:

$$‎{V_{xc}}(r) = \frac{{\partial {E_{xc}}[n(r)]}}{{\partial n(r)}} = \frac{{\partial [n(r){\varepsilon _{xc}}(r)]}}{{\partial n(r)}}.‎$$

مدل های زیادی برای محاسبه‌ی سهم پتانسیل تبادلی-همبستگی وجود دارد، بطور مثال محاسبه پتانسیل تبادلی-همبستگی با استفاده از پارامترهای تیتر-پید Teter-Pade به صورت زیر است:

$$‎{\varepsilon _{xc}} =‎ -‎\frac{{{a_0}‎ + ‎{r_s}({a_1}‎ + ‎{r_s}({a_2}‎ + ‎{r_s}{a_3}))}}{{{r_s}({b_1}‎ + ‎{r_s}({b_2}‎ + ‎{r_s}({b_3}‎ + ‎{r_s}{b_4})))}},‎$$

که مقادیر هر یک از پارامترها با روش های محاسباتی بدست می آید:

$$‎{a_0} = 0.4581652932831429,$$

$$‎{a_1} = 2.217058676663745,$$

$$‎{a_2}= 0.7405551735357053,$$

$$‎{a_3}= 0.01968227878617998,$$

$$‎{b_1}= 1.0,$$

$$‎{b_2}= 4.504130959426697,$$

$$‎{b_3} = 1.110667363742916,$$

$$‎{b_4} = 0.02359291751427506.‎$$

در این رابطه‎$ r_s $ ‎ با رابطه‌ی مقابل ‎$\frac{4}{3}\pi r_s^3 = \frac{1}{n}$‎ به چگالی الکترونی مربوط می‌شود.

با این تعاریف می‌توان به هدف مورد بحث در بخش ؛نظریه تابعی چگالی؛ که یافتن انرژی حالت پایه برای یک سیستم الکترونی بس ذره ای، با استفاده از معادلات کوهن-شم و تقریب چگالی موضعی است، دست یافت.