نظریه های بس ذره ای/نظریه تابعی چگالی/قسمت چهارم/تقریب چگالی موضعی

تقریب چگالی موضعی  (Local Density Approximation (LDA توسط کوهن و شم در سال ‎$ 1965 $‎ گسترش یافت. شکل صریح تابعی تبادلی-همبستگی تا به امروز شناخته شده نیست و باید تقریب زده شود. وجود برهم‌کنش‌های غیر موضعی در انرژی تبادلی-همبستگی، علتِ عدم موفقیت در یافتن شکل دقیق این تابعی به شمار می‌رود. اما اگر همبستگی بین الکترون‌ها کم باشد، می‌توان از تقریب چگالی موضعی استفاده کرد.

در تقریب چگالی موضعی انرژی تبادلی-همبستگی یک سیستم الکترونی با این فرض ساخته می‌شود که انرژی تبادلی-همبستگی به ازای هر الکترون در نقطه‌ی ‎$ r $‎

در گاز الکترونی، برابر است با انرژی تبادلی-همبستگیِ الکترون در گاز الکترونی همگن، که چگالی آن، همان چگالی گاز الکترونی مورد نظر در نقطه‌ی ‎$ r $‎ است. پس:

$$ ‎{E_{xc}}[n(r)] = \int {{\varepsilon _{xc}}(r)n(r){d^3}r}‎,$$

$$ ‎{\varepsilon _{xc}}(r) = \varepsilon _{xc}^{\hom }[n(r)]‎,$$

نظریه های بس ذره ای/نظریه تابعی چگالی/قسمت سوم/معادلات کوهن-شم

نظریه‌های هوهنبرگ و کوهن، تابع موجی در اختیار ما نمی‌گذارند.

کوهن و شم، برای توسعه ی نظریه تابعی چگالی نظریه ی جدیدی ارائه دادند.

نظریه های بس ذره ای/نظریه تابعی چگالی/قسمت دوم/قضایای هوهنبرگ-کوهن

در بخش قبل برای بررسی یک سیستم بس ذره ای نظریه تابعی چگالی را مطرح کردیم.

در ادامه ی مطالب قبل، هوهنبرگ و کوهن Hohenberg and Kohn نشان دادند، چگالی حالت زمینه می‌تواند جایگزین دو کمیت تعداد الکترون‌ها و پتانسیل خارجی ناشی از هسته‌های ساکن شود و به واسطه‌ی آن، همه‌ی خواص حالت پایه‌ی دستگاه می‌توانند از توزیع الکترون‌ها بدست آیند. از جمله مزایای روش‌هایی که در آن‌ها از چگالی الکترونی به جای تابع موج استفاده می‌شود این است که، اولا بر خلاف تابع موج، چگالی بار کمیتی قابل مشاهده است و صحت محاسبات را می‌توان در مقایسه با نتایج پراش ‎$ X $‎ و‎$ \ldots $‎ تایید یا رد کرد. ثانیا چگالی، تابع مکان و شامل ‎$ 3 $‎

مولفه است، در حالی که تابع موج دارای ‎$ 3N $‎ مولفه است، بنابر این محاسبات ساده ترند. 

در این روش‌ها انرژی کل سیستم را به صورت تابعی از چگالی الکترونی نوشته و با وردش‌گیری از آن مقدار کمینه انرژی کل دستگاه و انرژی حالت پایه را بدست می‌آورند.

نظریه های بس ذره ای/نظریه تابعی چگالی/قسمت اول/مقدمه

 مدل بستگی قوی ( که در بخش های قبل توضیح داده شد) یک مدل تک الکترونی است و برای مواردی به کار می رود که پیوند میان اتم‌ها ضعیف باشد و یا اینکه الکترون حول هسته موضعی شده باشد و اندرکنش الکترون-الکترون و پوشش بین توابع موجی دو اتم خیلی ضعیف باشد. ولی همان طورکه می‌دانیم در یک روش دقیق‌تر مجاز نیستیم که الکترونی با تابع موجی معلوم و معین را به دور از تاثیر الکترون‌های دیگر، تنها با یک معادله‌ی شرودینگر

تک ذره‌ای توصیف کنیم.

تمام اطلاعات مربوط به یک دستگاه ‎$ N $‎ ذره‌ای، که بین این ذرات برهم کنش وجود دارد را می‌توان،

در معادله‌ی شرودینگر مستقل از زمان زیر پیدا کرد:

$$‎H \psi = E \psi,‎$$

در این معادله، ‎$ E $‎ نشان دهنده‌ی انرژی کل سیستم و عملگر هامیلتونی ‎$ H $‎ برهم‌کنش‌های عمل کننده

روی تابع موج بس ذره‌ای ‎$ \psi $‎ را نشان می‌دهد.

 هامیلتونی غیر نسبیتی را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$*‎H = {T_n}‎ + ‎{V_{nn}}‎ + ‎T‎ + ‎{V_{ee}}‎ + ‎{V_{ne}},‎$$