معادلات هدین فقط یک مجموعه از روابط عددی نیست، بلکه جواب این معادله زمانی که بخواهیم تابع راس را از یک مشتق تابعی بدست آوریم، پیچیده خواهد شد.
یک دیدگاه خوب که به طور گسترده برای حل معادلات هدین مورد استفاده قرار می‌گیرد، تقریب GW
است. این تقریب نیز توسط هدین مطرح شد. در این تقریب، تابع راس با یک تابع آنی و موضعی جایگزین می‌شود:
$$\Gamma (1,2;3) \approx \delta (1,2)\delta (1,3) \equiv {\Gamma ^{GW}}(1,2;3),$$
در سال $ 1965 $ هدین (Hedin) نشان داد، با استفاده از مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیلی-انتگرالی جفت شده می‌توان خود انرژی و در نتیجه $ G $ را بدست آورد:
$$\Sigma (1,2) = i\int {G(1,4)W({1^+ },3)} \Gamma (4,2;3)d(3,4)$$
$$W(1,2) = v(1,2) + \int W(1,3)\tilde \chi(3,4)v(4,2)d(3,4)$$
$$ \tilde \chi(1,2) = -i\int G(2,3)G(4,2)\Gamma (3,4;1)d(3,4)$$
$$\Gamma (1,2;3) = \delta (1,2)\delta (1,3) + \int {\frac{\delta \Sigma (1,2)}{\delta G(4,5)}}G(4,6)G(7,5)\Gamma (6,7;3)d(4,5,6,7)$$
تابع گرین که گاهی انتشارگر نیز نامیده می‌شود، دامنه‌ی احتمال برای انتشار یک الکترون جداشده یا اضافه شده به یک سیستم بس ذره‌ای را تعریف می‌کند. با در نظر گرفتن $ \left| {N,0} \right\rangle $ به عنوان حالت پایه‌ی سیستم
N$$ الکترونی و $ \hat \Psi (r,t) = \exp (i\hat Ht)\hat \Psi (r)\exp (-i\hat Ht) $ به عنوان عملگر فنا در نمایش هایزنبرگ و متناظر با آن ${\Psi }^\dagger(r,t)$ به عنوان عملگر خلق و $ T $ به عنوان عملگر ترتیب زمانی Time-ordering
تابع گرین، بصورت زیر تعریف می‌شود:
$$* {G(r,t,r',t') }= -i\left\langle {N,0} \right|T[\hat \Psi (r,t){\Psi^\dagger }(r',t')]\left| {N,0} \right\rangle$$
$$ {-i\left\langle {N,0} \right|\hat \Psi (r,t){{\hat \Psi }^\dagger }(r',t')\left| {N,0} \right\rangle ,\quad t > t'}$$
$$ {i\left\langle {N,0} \right|{{\hat \Psi }^\dagger }(r',t')\hat \Psi (r,t)\left| {N,0} \right\rangle ,\quad t' > t}$$
