نظریه های بس ذره ای/نظریه اختلال بس ذره ای/قسمت سوم/تابع گرین و خود انرژی
تابع گرین که گاهی انتشارگر نیز نامیده می‌شود، دامنه‌ی احتمال برای انتشار یک الکترون جداشده یا اضافه شده به یک سیستم بس ذره‌ای را تعریف می‌کند. با در نظر گرفتن $ \left| {N,0} \right\rangle $ به عنوان حالت پایه‌ی سیستم
N$$ الکترونی و $ \hat \Psi (r,t) = \exp (i\hat Ht)\hat \Psi (r)\exp (-i\hat Ht) $ به عنوان عملگر فنا در نمایش هایزنبرگ و متناظر با آن ${\Psi }^\dagger(r,t)$ به عنوان عملگر خلق و $ T $ به عنوان عملگر ترتیب زمانی Time-ordering
تابع گرین، بصورت زیر تعریف می‌شود:
$$* {G(r,t,r',t') }= -i\left\langle {N,0} \right|T[\hat \Psi (r,t){\Psi^\dagger }(r',t')]\left| {N,0} \right\rangle$$
$$ {-i\left\langle {N,0} \right|\hat \Psi (r,t){{\hat \Psi }^\dagger }(r',t')\left| {N,0} \right\rangle ,\quad t > t'}$$
$$ {i\left\langle {N,0} \right|{{\hat \Psi }^\dagger }(r',t')\hat \Psi (r,t)\left| {N,0} \right\rangle ,\quad t' > t}$$
برای $ t>t' $ $( t'>t ) $ تابع گرین انتشار یک ذره (حفره) اضافه شده به سیستم $ N $ الکترونی را توصیف می‌کند. به عبارتی $ G $ دینامیک برانگیختگی‌های $N\to N\pm1$ را توصیف می‌کند.
تابع گرین در رابطه‌ی * با تبدیل فوریه در فضای بسامد به صورت زیر نوشته می‌شود:
$$ G({r_1},{r_2};\omega ) =\sum\limits_i\frac {\psi_i({r_1})\psi_i^\dagger({r_2})}{\omega-\varepsilon_i+i\eta\ sgn(\varepsilon_i-\mu)}$$
در رابطه‌ی بالا $ i $ مجموعه‌ای از اعداد کوانتومی است که حالات برانگیخته با $ N\pm1 $ الکترون را برچسب می‌زند و $ \mu $ همان پتانسیل شیمیایی سیستم است.
بنابراین موقعیت قطب‌های تابع گرین انرژی‌های شبه ذره‌ای $ \varepsilon_i $ را می‌دهد.
شکل بالا نمایشی از قرارگیری قطب‌های تابع گرین است.
برای انتشار یک ذره در یک سیستم $ N+1 $ ذره‌ایِ بدون برهم کنش، تابع گرین به صورت زیر بر حسب توابع موج مستقل از ذره‌ی ${\Phi _i}$ و انرژی‌های ${E _i}$ تعریف می‌شود:
$${G^0}(r,r';\omega ) = \sum\limits_i {\frac{{{\Phi _i}(r){\Phi ^*}_i(r)}}{{\omega -{E _i}}}}.$$
معادله‌ی دایسون
$$G(r,r';\omega ) = {G^0}(r,r';\omega ) + {\int G ^0}(r,{r_1};\omega )\Sigma ({r_1},{r_2};\omega )G({r_2},r';\omega )d{r_1}d{r_2},$$
رابطی بین تابع گرین $ G $، انتشارگر $ G_0 $ و یک پتانسیل غیر موضعی، غیر هرمیتی و وابسته به زمان،
به نام خود انرژی $ \Sigma $ را ارائه می‌دهد.
چون فرض می‌شود $ G_0 $ به طور دقیق شناخته شده باشد، مساله‌ی پیدا کردن $ G $
به مساله‌ی محاسبه‌ی $ \Sigma $ کاهش می‌یابد.
با قرار دادن نمایش تابع گرین در معادله‌ی **، داخل معادله‌ی دایسون، انرژی‌ها و توابع موج شبه ذرات،
با حل معادله‌ی شبه ذره‌ای زیر بدست می‌آیند:
$$[-\frac{{{\nabla ^2}}}{{2}} + {V_{ext}}(r_1) + {V_H}(r_1)]\psi ({r_1}) + {\Sigma ({r_1};{\varepsilon ^{QP}})\psi ({r_1}} )= {\varepsilon ^{QP}}\psi ({r_1}).$$
در نتیجه بجای تعریف انرژی‌های شبه ذره‌ای از قطب‌های تابع گرین، مناسب‌تر این است که این انرژی‌ها
با حل معادله‌ی شبه ذره‌ای محاسبه شوند.
برای این کار، از نظریه اختلال مرتبه اول استفاده و با فرض ِ $ \Phi _i^{KS}\approx\Phi _i^{QP} $، انرژی‌های شبه ذرات را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
$$\varepsilon _i^{QP} = E_i^{KS} + \left\langle {\Phi _i^{KS}} \right|\Sigma (\varepsilon _i^{QP})-{V_{xc}}\left| {\Phi _i^{KS}} \right\rangle, $$
در این جا با مقایسه‌ی معادله‌ی دایسون با معادله‌ی کوهن-شم، عملگر $\Sigma (\varepsilon _i^{QP})-{V_{xc}} $
را به عنوان عملگر اختلالی در نظر گرفته‌ایم. با بسط تیلورِ خود انرژی، اطراف انرژی‌های کوهن-شم رابطه‌ی نهایی برای انرژی شبه ذرات به صورت زیر نوشته می‌شود:
$$\varepsilon _i^{QP} = E_i^{KS} + \left\langle {\Phi _i^{KS}} \right|\Sigma (\varepsilon _i^{QP})-{V_{xc}}\left| {\Phi _i^{KS}} \right\rangle \approx E_i^{KS} + {Z_i}\left\langle {\Phi _i^{KS}} \right|\Sigma (E_i^{KS})-{V_{xc}}\left| {\Phi _i^{KS}} \right\rangle, $$
در این رابطه $ Z_i $ به عنوان وزن شبه ذرهQuasiparticle weight تعریف می‌شود:
$$Z_i=\left[1-\frac {\partial {\Sigma _i}(E)}{\partial E}|_{{E} = E_i^{KS}}\right]^{-1}$$
بنابر این شکست نظریه‌ی تابعی چگالی مساله‌ی غیر منتظره‌ای نیست، زیرا در این نظریه اثرات غیر موضعی
و وابسته به انرژی در $ \Sigma _{xc}(r,r',\omega) $ توسط پتانسیل موضعی و مستقل از انرژی $ V _{xc}(r) $ تقریب زده می‌شود. معادله‌ی شبه ذره‌ای از معادله‌ی کوهن-شم متفاوت است و ویژه بردارها و ویژه مقادیر شبه ذره‌ای می‌توانند، هم چگالی بار سیستم در حال برهم‌کنش و هم خواص برانگیختگی را توصیف کنند.
