نظریه های بس ذره ای/نظریه اختلال بس ذره ای/قسمت چهارم/معادلات هدین

در سال ‎$ 1965 $‎ هدین (Hedin) نشان داد، با استفاده از مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیلی-انتگرالی جفت شده می‌توان خود انرژی و در نتیجه ‎$ G $‎ را بدست آورد:

$$\Sigma (1,2) = i\int {G(1,4)W({1^‎+ ‎},3)} \Gamma (4,2;3)d(3,4)$$

$$W(1,2) = v(1,2)‎ + ‎\int W(1,3)\tilde \chi(3,4)v(4,2)d(3,4)$$

$$ \tilde \chi(1,2) =‎ -‎i\int G(2,3)G(4,2)\Gamma (3,4;1)d(3,4)$$

$$\Gamma (1,2;3) = \delta (1,2)\delta (1,3)‎ + ‎\int {\frac{\delta \Sigma (1,2)}{\delta G(4,5)}}G(4,6)G(7,5)\Gamma (6,7;3)d(4,5,6,7)$$

در این معادلات،‎$ \Sigma $ ‎ خود انرژی، ‎$ W $‎ پتانسیل کولنی استتار شده، ‎$\tilde \chi$‎ پذیرفتاری الکتریکی و ‎$ \Gamma $‎ تابع راس می‌باشد.

پنج ضلعی خلاصه شده در شکل زیر نشان می‌دهد، چطور کمیات فیزیکی مختلف به ‌هم وابسته هستند.

برهم‌کنش استتار شده‌ی ‎$ W $‎ و انتشارگر ‎$ G $‎ و تابع راس ‎$\Gamma$‎ ، برهم‌کنش‌های بین برانگیختگی‌های الکترون و حفره را توصیف می‌کنند. این کمیات، سه عنصر اصلی برای تعریف ‎$\Sigma$‎ هستند. 

این حلقه معادلات را در نظر بگیرید، فرایند تکرار در این حلقه با قرار دادن ‎$ G=G_0 $‎

شروع می‌شود و در اصل مجموعه‌ای از معادلات باید تکرار شوند تا خود-سازگاری در همه‌ی کمیت‌ها بدست آید.

با محاسبه ی هر کمیت در پایان می توان خود انرژی ‎$ \Sigma $ را بدست آورد.