خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت پنجم/چگالی حالات و ساختار نواری نانولوله کربنی

 از آنجا که تعداد حالت های الکترونی در یک نوار الکترونی (رسانش یا ظرفیت) بسیار زیاد است، برای بیان تعداد این حالت ها از مفهوم چگالی حالات استفاده می شود. چگالی حالات بیانگر تعداد حالت هایی است که انرژی آن ها بین $E$ و $dE$ است، به عبارتی تعداد حالات در دسترس در واحد انرژی، چگالی حالات نام دارد. به علت وجود تقارن کافی است که چگالی حالت را در منطقه اول بریلوئن بدست آورد.

برای مجموعه‌ای از ویژه مقادیر انرژی ‎$ \varepsilon $‎ ، چگالی حالات (Density Of States (DOS با رابطه‌ی زیر بیان می‌شود:

$$‎\rho (E) = \frac{1}{l}{\sum\limits_{bands} {\sum\limits_i {\int {dk\delta (k-{k_i})\left| {\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial k}}} \right|} } } ^{-1}},‎$$

خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت چهارم/کوانتش اطراف استوانه گرافین

در مباحث قبل شرط فلزی بودن و نیمه رسانایی نانولوله ها را مطرح کردیم،

در این تاپیک این شرط را بررسی و اثبات خواهیم کرد.

چون قطر نانولوله‌ها کوچک است ‎$(\sim1nm)$‎ یک فضای مهم میان مقادیر کوانتیده ‎$ {k_ \bot } $‎

وجود دارد. در جهت موازی با محور نانولوله، الکترون‌ها بر روی فاصله‌ی بیشتری آزادانه حرکت می‌کنند و عدد موج الکترون در جهت موازی یعنی ‎${k_\parallel } $‎ ‎ به طور موثر پیوسته است. پیوستگی حالت‌های ‎$ {k_\parallel} $‎ در هر مد، یک زیر نوار تک بعدی نامیده می‌شود.

‎$ {k_\bot} $‎ همانطور ک قبلا مطرح کردیم،  بوسیله‌ی شرط مرزی ‎$k_ {\bot } = 2\pi J‎ / ‎\left| {{{\vec C}_h}} \right| $‎ تعیین می‌‌شد و مقادیری کوانتیده بخود می گرفت.‎$ J $‎ یک عدد صحیح و ‎$ {d_t} $‎ قطر نانولوله می‌باشد. در شکل زیر خطوط موازی ‎ حالت‌های مجاز ‎$ k $‎ در نانولوله را نشان می‌دهد.

جهت‌گیری دقیق میان مقادیر ‎$ \vec k $‎ و نقاط ‎$ \vec K$‎ گرافین نقش مهمی در تعیین خواص الکتریکی نانولوله ایفا می‌کند. 

خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت سوم/تقریب منطقه تا شده

در این تقریب، در ادامه مباحث قبل، ما ساختار الکتریکی نانولوله‌های‌کربنی را به سادگی از گرافین به دست می‌آوریم. همان طورکه در بخش شبکه وارون دیدیم، با به کار بردن شرایط مرزی تناوبی در جهت پیچش نانولوله بردار موج $k$ مرتبط شده با جهت ‎$ \vec C_h $‎ کوانتیده می‌شد، در حالی که بردار موج مرتبط شده با بردار انتقال ‎$ \vec T $‎

پیوسته باقی می‌ماند. بنابراین هر نوار گرافین به تعدادی از زیرنوارهای تک بعدی که با ‎$ J$‎ برچسب می‌خورند شکافته می‌شود و روابط پاشندگی انرژی گرافین ‎$ E_g(\vec k) $‎ در خطوط موازی با ‎$ ww' $‎ که  در <شکل BZ نانولوله در بخش شبکه وارون> نشان داده شد، تا می‌شوند.

این روابط پاشندگی:

$$‎{E_J}(\vec k) = {E_g}(k\frac{{{{\vec k}_\parallel }}}{{\left| {{{\vec k}_\parallel }} \right|}}‎ + ‎J{\vec k_\bot}) \quad ; \quad J=0,1,\ldots,N_R-1 \quad‎ , ‎\quad \frac{{-\pi }}{t} < k < \frac{\pi }{t}‎$$

مطابق با روابط پاشندگی انرژی یک نانولوله تک دیواره می‌باشد.

خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت دوم/مدل بستگی قوی برای گرافین

برای توصیف حالت‌های الکتریکی یک نانولوله نخست باید ساختار الکتریکی گرافین را فهمید. در این بخش، با به کار بردن

مدل بستگی قوی Tight binding model خواهیم دید، حالت‌های رسانش و ظرفیت در گرافین در نقاط ویژه‌ای در فضای ‎$ k $‎ با یکدیگر در تماسند و پاشندگی اطراف این نقاط ویژه به صورت مخروط خواهد بود. ما حالت‌های الکتریکی یک نانولوله را ، بوسیله‌ی ترکیب این خواص گرافین با شرایط مرزی استوانه‌ای نانولوله توصیف خواهیم کرد.

شکل زیر ‎هندسه‌ی شبکه گرافین در فضای واقعی را نشان می‌دهد. هر سلول واحد گرافین دارای دو اتم کربن است که با ‎$ A $‎ و ‎$ B $‎ برچسب زده شده‌اند و پیوند میان اتم‌های کربن تشکیل یک شبکه شش گوشی می‌دهد.

هر اتم ‎$ A $‎ به سه اتم ‎$ B $‎ مربوط شده است و بالعکس، هم‌چنین پیوندها در امتداد بردارهای ‎${\vec \rho _1} $ ‎ ، $\vec \rho_2$ و ‎${\vec \rho _3} $‎ قرار دارند.

خواص الکتریکی نانولوله کربنی/قسمت اول/هیبریداسیون

هر اتم کربن ‎6‎ الکترون، با آرایش الکترونی ‎$ 1{s^2}2{s^2}2{p^2}$‎ دارد. دو الکترون اربیتال ‎$ 1s $‎ شدیدا به هسته مقید بوده و در واکنش‌های کربنی نقش چندانی ندارند، در نتیجه تنها ‎4‎ الکترون بیرونی در تعیین پیوندها و تعیین خواص الکتریکی موثرند. 4‎ اربیتال اتم کربن ‎$ (2s,2{p_x},2{p_y},2{p_z}) $‎ چون از نظر سطح انرژی به‌هم نزدیکند در اکثر ترکیبات کربنی، به شکل‌های مختلف با هم در آمیخته و هیبریدهای گوناگون ‎$ s{p^1},s{p^2},s{p^3} $‎ 

را به‌ وجود می‌آورند.