جمع بندی/بدست آوردن انرژی های اکسیتونی و طیف اپتیکی نانولوله های کربنی تک دیواره

در بحث بررسی خواص اپتیکی نانولوله های کربنی، این نظریه را مطرح کردیم

که از لحاظ تئوری دیدگاه های تک-ذره ای نتایج درست و خوبی را برای این ماده به ما نمی دهند.

بدلیل طبیعت شبه یک بعدی نانولوله های کربنی اثرات بس-ذره ای تاثیر مهمی بر روی

خواص این مواد خواهند داشت و شکست نطریه های تک-ذره ای غیر منتظره نیست،

مقایسه ای بین نتایج دیدگاه های تک-ذره ای، بس-ذره ای و مقادیر آزمایشگاهی

دلیلی بر این مدعاست. یکی از اثراتی که برای نانولوله های کربنی مطرح کردیم،

اثرات اکسیتونی بود، اثری که برای بدست آوردن 

مقدار انرژی برانگیختگی اهمیت پیدا می کرد.

اثرات اکسیتونی یعنی برهم کنش بین الکترون-حفره و یا همان اکسیتون ها را در بررسی

انرژی های برانگیختگی در نظر بگبریم.

برای بدست آوردن این انرژی های برانگیختگی که شامل برهم کنش الکترون-حفره می باشد

ما معادله بت-سلپیتر را مطرح کردیم.

شکل زیر بطور خلاصه بررسی انرژی های برانگیختگی با سه دیدگاه DFT/GW/BSE را نشان می دهد.

نظریه های بس ذره ای/معادله بت-سلپیتر Bethe-Salpeter equation

با نظریه اختلال بس ذره‌ای، با دقت خوبی می‌توان انرژی‌های برانگیختگی را با استفاده از محاسبه‌ی

خود انرژی در تقریب GW‎ بدست آورد. اما در حقیقت یک جذب نوری، یک جفت الکترون-حفره مقید و یا همان اکسیتون را خواهد ساخت، برای محاسبه‌ی انرژی‌های برانگیختگی، یک موافقت خوب بین آزمایش و تئوری، زمانی که

برهم‌کنشِ بین الکترون و حفره نیز در نظر گرفته شود، بدست خواهد آمد. 

معادله بت-سلپیتر ‎(Bethe Salpeter Equation)‎ می‌تواند جفت شدگی بین الکترون و حفره را در نظر بگیرد

و طیف جذبی که با حل این معادله بدست خواهد آمد با نتایج تجربی همخوانی بیشتری دارد. 

نظریه های بس ذره ای/نظریه اختلال بس ذره ای/قسمت پنجم/تقریب GW

 معادلات هدین فقط یک مجموعه از روابط عددی نیست، بلکه جواب این معادله زمانی که بخواهیم تابع راس را از یک مشتق تابعی بدست آوریم، پیچیده خواهد شد.

یک دیدگاه خوب که به طور گسترده برای حل معادلات هدین مورد استفاده قرار می‌گیرد، تقریب GW

است. این تقریب نیز توسط هدین مطرح شد. در این تقریب، تابع راس با یک تابع آنی و موضعی جایگزین می‌شود:

$$‎\Gamma (1,2;3) \approx \delta (1,2)\delta (1,3) \equiv {\Gamma ^{GW}}(1,2;3),‎$$

نظریه های بس ذره ای/نظریه اختلال بس ذره ای/قسمت چهارم/معادلات هدین

در سال ‎$ 1965 $‎ هدین (Hedin) نشان داد، با استفاده از مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیلی-انتگرالی جفت شده می‌توان خود انرژی و در نتیجه ‎$ G $‎ را بدست آورد:

$$\Sigma (1,2) = i\int {G(1,4)W({1^‎+ ‎},3)} \Gamma (4,2;3)d(3,4)$$

$$W(1,2) = v(1,2)‎ + ‎\int W(1,3)\tilde \chi(3,4)v(4,2)d(3,4)$$

$$ \tilde \chi(1,2) =‎ -‎i\int G(2,3)G(4,2)\Gamma (3,4;1)d(3,4)$$

$$\Gamma (1,2;3) = \delta (1,2)\delta (1,3)‎ + ‎\int {\frac{\delta \Sigma (1,2)}{\delta G(4,5)}}G(4,6)G(7,5)\Gamma (6,7;3)d(4,5,6,7)$$

نظریه های بس ذره ای/نظریه اختلال بس ذره ای/قسمت سوم/تابع گرین و خود انرژی

تابع گرین که گاهی انتشارگر نیز نامیده می‌شود، دامنه‌ی احتمال برای انتشار یک الکترون جداشده یا اضافه شده به یک سیستم بس ذره‌ای را تعریف می‌کند. با در نظر گرفتن ‎$ \left| {N,0} \right\rangle $‎ به عنوان حالت پایه‌ی سیستم

N$‎$ الکترونی و ‎$ \hat \Psi (r,t) = \exp (i\hat Ht)\hat \Psi (r)\exp (-i\hat Ht) $‎ به عنوان عملگر فنا در نمایش هایزنبرگ و متناظر با آن ‎${\Psi }^\dagger(r,t)$‎ به عنوان عملگر خلق و ‎$ T $‎ به عنوان عملگر ترتیب زمانی Time-ordering

تابع گرین، بصورت زیر تعریف می‌شود:

$$* ‎{G(r,t,r',t') }=‎ -‎i\left\langle {N,0} \right|T[\hat \Psi (r,t){\Psi^\dagger }(r',t')]\left| {N,0} \right\rangle‎$$

$$  ‎{-i\left\langle {N,0} \right|\hat \Psi (r,t){{\hat \Psi }^\dagger }(r',t')\left| {N,0} \right\rangle‎ ,‎\quad t > t'}$$

$$ ‎{i\left\langle {N,0} \right|{{\hat \Psi }^\dagger }(r',t')\hat \Psi (r,t)\left| {N,0} \right\rangle‎ ,‎\quad t' > t}$$

 

نظریه های بس ذره ای/ نظریه اختلال بس ذره ای/ قسمت دوم/ شبه ذره

خب یکی از کلماتی که ازین ببعد زیاد ازش استفاده میشه مفهوم شبه ذرات هست

ازین ببعد می گیم شبه ذره، شبه الکترون،  شبه حفره

این یعنی چی؟ چرا مثل قبل نمی گیم  ذره، الکترون، حفره؟

این تعریفی ک میگم مربوط به فیزیک حالت جامد مطرح میشه، اون تعریفی که تو فیزیک ینیادی یا

هسته ای می کنن نیست. ی خلاصه از چیزایی هست ک خوندم خیلی مختصر و مفید در حدی ک فهمیدم.

نظریه های بس ذره ای/نظریه اختلال بس ذره ای/قسمت اول/مقدمه

نظریه تابعی چگالی DFT‎، یک نظریه برای توصیف حالت پایه‌ی یک سیستم است، اما زمانی که یک برانگیختگی اتفاق می افتد، در پیش‌‌بینی حالات برانگیخته نمی‌توان از آن استفاده کرد.‌ برای بررسی خواص نوری مواد یعنی زمانی که مقدار گپ نواری مهم می شود، DFT نتایج خوبی برای مقدار گپ نواری بدست نمی دهد و نیاز به یک تصحیح دارد. 

 

نظریه های بس ذره ای/نظریه تابعی چگالی/قسمت چهارم/تقریب چگالی موضعی

تقریب چگالی موضعی  (Local Density Approximation (LDA توسط کوهن و شم در سال ‎$ 1965 $‎ گسترش یافت. شکل صریح تابعی تبادلی-همبستگی تا به امروز شناخته شده نیست و باید تقریب زده شود. وجود برهم‌کنش‌های غیر موضعی در انرژی تبادلی-همبستگی، علتِ عدم موفقیت در یافتن شکل دقیق این تابعی به شمار می‌رود. اما اگر همبستگی بین الکترون‌ها کم باشد، می‌توان از تقریب چگالی موضعی استفاده کرد.

در تقریب چگالی موضعی انرژی تبادلی-همبستگی یک سیستم الکترونی با این فرض ساخته می‌شود که انرژی تبادلی-همبستگی به ازای هر الکترون در نقطه‌ی ‎$ r $‎

در گاز الکترونی، برابر است با انرژی تبادلی-همبستگیِ الکترون در گاز الکترونی همگن، که چگالی آن، همان چگالی گاز الکترونی مورد نظر در نقطه‌ی ‎$ r $‎ است. پس:

$$ ‎{E_{xc}}[n(r)] = \int {{\varepsilon _{xc}}(r)n(r){d^3}r}‎,$$

$$ ‎{\varepsilon _{xc}}(r) = \varepsilon _{xc}^{\hom }[n(r)]‎,$$

نظریه های بس ذره ای/نظریه تابعی چگالی/قسمت سوم/معادلات کوهن-شم

نظریه‌های هوهنبرگ و کوهن، تابع موجی در اختیار ما نمی‌گذارند.

کوهن و شم، برای توسعه ی نظریه تابعی چگالی نظریه ی جدیدی ارائه دادند.

نظریه های بس ذره ای/نظریه تابعی چگالی/قسمت دوم/قضایای هوهنبرگ-کوهن

در بخش قبل برای بررسی یک سیستم بس ذره ای نظریه تابعی چگالی را مطرح کردیم.

در ادامه ی مطالب قبل، هوهنبرگ و کوهن Hohenberg and Kohn نشان دادند، چگالی حالت زمینه می‌تواند جایگزین دو کمیت تعداد الکترون‌ها و پتانسیل خارجی ناشی از هسته‌های ساکن شود و به واسطه‌ی آن، همه‌ی خواص حالت پایه‌ی دستگاه می‌توانند از توزیع الکترون‌ها بدست آیند. از جمله مزایای روش‌هایی که در آن‌ها از چگالی الکترونی به جای تابع موج استفاده می‌شود این است که، اولا بر خلاف تابع موج، چگالی بار کمیتی قابل مشاهده است و صحت محاسبات را می‌توان در مقایسه با نتایج پراش ‎$ X $‎ و‎$ \ldots $‎ تایید یا رد کرد. ثانیا چگالی، تابع مکان و شامل ‎$ 3 $‎

مولفه است، در حالی که تابع موج دارای ‎$ 3N $‎ مولفه است، بنابر این محاسبات ساده ترند. 

در این روش‌ها انرژی کل سیستم را به صورت تابعی از چگالی الکترونی نوشته و با وردش‌گیری از آن مقدار کمینه انرژی کل دستگاه و انرژی حالت پایه را بدست می‌آورند.